Para una función cuadrática de la forma h(t) = at² + bt + c con a = -5, b = 20 y c = 1, el vértice que determina el punto máximo se calcula con t = -b / (2a). Sustituyendo: t = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2 segundos. Luego se evalúa la función en t = 2: h(2) = -5(2)² + 20(2) + 1 = -5(4) + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21 metros. Por lo tanto, alcanza 21 metros exactamente a los 2 segundos.

Primero se calcula la pendiente m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (11 - 3) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2. Usando la ecuación punto-pendiente con el punto A(2, 3): y - y1 = m(x - x1) => y - 3 = 2(x - 2) => y - 3 = 2x - 4. Despejando a la forma general Ax + By + C = 0: 2x - y - 4 + 3 = 0 => 2x - y - 1 = 0.

Sea h_parcial la altura desde el nivel de los ojos hasta la cúspide: tan(30°) = h_parcial / 60 => h_parcial = 60 * tan(30°) = 60 * 0.577 = 34.62 metros. Para obtener la altura total respecto al suelo se debe sumar la altura del observador: H = 34.62 m + 1.60 m = 36.22 metros.

Se evalúa la función exponencial para t = 2: A(2) = 2000 * (1.08)² = 2000 * 1.1664 = $2,332.80. Esto evidencia la acumulación de intereses sobre intereses característica del modelo exponencial.

Por la regla clásica de Laplace, P(E) = Casos favorables / Casos totales. Casos favorables (hombres) = 16; casos totales = 40. P = 16 / 40 = 4 / 10 = 0.40, es decir, el 40%.

La fórmula de distancia entre dos puntos es d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. Sustituyendo: d = √[(5 - (-3))² + (8 - 2)²] = √[(8)² + (6)²] = √[64 + 36] = √100 = 10 unidades (es decir, 1,000 metros).

Las coordenadas del punto medio se calculan promediando los extremos: x_m = (x₁ + x₂) / 2 = (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7; y_m = (y₁ + y₂) / 2 = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2. Por tanto, el punto medio es M(7, 2).

La ecuación canónica de una circunferencia con centro en el origen C(0, 0) y radio r es x² + y² = r². Dado que r = 5 km, r² = 25. Por lo tanto, la ecuación es x² + y² = 25.

Para una parábola vertical con vértice en el origen, la ecuación es x² = 4py. La distancia del vértice a la directriz es |p| = 3. Dado que la directriz está en y = 3 (arriba) y la parábola abre hacia abajo, p = -3. Sustituyendo: x² = 4(-3)y => x² = -12y.

El tercer ángulo en C es 180° - 45° - 60° = 75°. Por la Ley de Senos: b / sen(B) = c / sen(C) => b = c * [sen(60°) / sen(75°)]. Sustituyendo: b = 500 * (0.866 / 0.966) = 500 * 0.8965 = 448.24 metros.

Por la Ley del Coseno: c² = a² + b² - 2ab·cos(C). Sustituyendo: c² = 80² + 100² - 2(80)(100)(0.5) = 6400 + 10000 - 8000 = 16400 - 8000 = 8400. Extrayendo raíz cuadrada: c = √8400 ≈ 91.65 metros.

Por la identidad pitagórica fundamental: sen²θ + cos²θ = 1 => 1 - cos²θ = sen²θ. Sustituyendo en la expresión: E = sen²θ / sen(θ) = sen(θ).

Se evalúa la función para t = 12 horas: exponente = 12 / 3 = 4 ciclos de duplicación. N(12) = 500 * 2⁴ = 500 * 16 = 8,000 bacterias.

Sustituyendo el valor de M = 4 en la ecuación: log₁₀(E) = 4.8 + 1.5(4) = 4.8 + 6.0 = 10.8.

Es una progresión aritmética con primer término a₁ = 5 y diferencia común d = 3. La fórmula del término enésimo es a_n = a₁ + (n - 1)d. Para n = 15: a₁₅ = 5 + (15 - 1)(3) = 5 + (14)(3) = 5 + 42 = $47.00.

Para n = 3: a₃ = 1200 * (0.80)^(3 - 1) = 1200 * (0.80)² = 1200 * 0.64 = $768.00.

El orden de los puestos importa (1°, 2° y 3°), por lo que se aplica una permutación de 6 elementos tomados de 3 en 3: P(6, 3) = 6! / (6 - 3)! = 6 * 5 * 4 = 120 formas distintas.

Como el orden de selección no importa (el comité es colegiado sin rangos), se aplica una combinación de 8 tomados de 3 en 3: C(8, 3) = 8! / [3! * (8 - 3)!] = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 336 / 6 = 56 comités.

Por la definición de probabilidad condicional: P(M | L) = P(M ∩ L) / P(L). Sustituyendo: P(M | L) = 0.50 / 0.60 = 5/6 ≈ 0.8333 (83.33%).

Desviaciones respecto a la media: (6-8)² = 4; (7-8)² = 1; (7-8)² = 1; (8-8)² = 0; (12-8)² = 16. Suma de cuadrados = 4 + 1 + 1 + 0 + 16 = 22. Dividiendo entre n - 1 = 5 - 1 = 4: s² = 22 / 4 = 5.5.

En una función racional, el denominador no puede ser cero porque la división entre cero está indefinida en los reales. Por tanto: x - 3 ≠ 0 => x ≠ 3. El dominio comprende todos los reales excepto el 3.

Sistema: 1) 3x + 2y = 110; 2) 2x + 4y = 140. Multiplicando la ecuación 1 por -2: -6x - 4y = -220. Sumando a la ecuación 2: (-6x + 2x) = -220 + 140 => -4x = -80 => x = $20.00 (el par de zapatos cuesta $20 y la bota $25).

Despejando: 3x - x ≤ 7 + 5 => 2x ≤ 12 => x ≤ 12 / 2 => x ≤ 6. Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo cerrado por la derecha (-∞, 6].

Según el Teorema del Residuo, el residuo de dividir P(x) entre (x - c) es igual a P(c). Aquí c = 2: P(2) = (2)³ - 4(2)² + (2) + 6 = 8 - 4(4) + 2 + 6 = 8 - 16 + 8 = 0. Al ser el residuo 0, (x - 2) es factor exacto.

Para f(x) = a^(x - h) + k, la función exponencial base 2^(x-1) siempre es estrictamente positiva (> 0). Al sumarle k = +3, la gráfica se desplaza 3 unidades verticalmente hacia arriba, fijando la asíntota horizontal en y = 3 y el rango en los valores estrictamente mayores que 3: (3, +∞).

Se iguala la función a 55: 15 · log₂(n/4) + 10 = 55 => 15 · log₂(n/4) = 45 => log₂(n/4) = 3. Aplicando la definición de logaritmo: n/4 = 2³ = 8 => n = 8 · 4 = 32 variables.

Se iguala y(t) a cero: -5t² + 20t + 25 = 0. Dividiendo entre -5: t² - 4t - 5 = 0. Factorizando: (t - 5)(t + 1) = 0. Como el tiempo físico debe ser no negativo: t = 5 segundos.

La probabilidad de la primera boleta A es P(A1) = 6/10 = 3/5. Como no hay reemplazo, quedan 5 boletas de la planilla A y 9 boletas en total. La probabilidad de la segunda es P(A2|A1) = 5/9. Por la regla de multiplicación: P(A1 ∩ A2) = (6/10) · (5/9) = 30/90 = 1/3 ≈ 33.33%.

Se utiliza la identidad de ángulo doble: cos(2θ) = 1 - 2sen²(θ). Sustituyendo sen(θ) = 3/5: cos(2θ) = 1 - 2(3/5)² = 1 - 2(9/25) = 1 - 18/25 = 7/25.

En una progresión geométrica an = a₁ · r^(n-1). Por tanto a₅ / a₂ = (a₁ · r⁴) / (a₁ · r¹) = r³ = 96 / 12 = 8. Despejando r: r = ∛8 = 2. Luego, sabiendo que a₂ = a₁ · r = 12 => a₁ · 2 = 12 => a₁ = 6.

Se realiza el cambio de variable: u = x2 Entonces: u2 -5u+4 = 0 Factorizando: (u-1)(u-4) = 0 Por lo tanto: u = 1ou = 4 Como u = x2: x2 = 1 ⇒ x = ±1 x2 = 4 ⇒ x = ±2 El conjunto solución es: {-2,-1,1,2}

Una ecuación bicuadrática contiene potencias de cuarto y segundo grado. El cambio adecuado es: u = x2 De esta manera, x4se transforma en u2, y la ecuación se convierte en una ecuación cuadrática más sencilla de resolver.

Se eleva al cuadrado ambos miembros: √x+5 = 4 x +5 = 16 x = 11 Al comprobar: √11+5 = √16 = 4 Por tanto, la solución es x = 11.

Primero se considera que el lado derecho debe ser no negativo: x-1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 Luego se eleva al cuadrado: x +1 = (x-1)2 x +1 = x2 -2x +1 x2 -3x = 0 x(x-3) = 0 Las posibles soluciones son x = 0y x = 3, pero x = 0no cumple la condición x ≥ 1. Comprobación: √3+1 = 3-1 2 = 2 La única solución es x = 3.

Se multiplica ambos miembros por x -1, considerando que x ≠ 1: = 1 x -1 2 = x-1 x = 3 Como 3 ≠ 1, la solución es válida.

Se igualan las dos expresiones de y: x+1 = x2 -1 x2 -x-2 = 0 Factorizando: (x-2)(x+1) = 0 Por lo tanto: x = 2ox = -1 Si x = 2: y = 2+1 = 3 Si x = -1: y = -1+1 = 0 Las soluciones son: (-1,0)y(2,3)

Se aplica la fórmula de distancia: d = √(x -x )2 +(y -y )2 2 1 2 1 d = √(6-2)2 +(6-3)2 d = √42 +32 d = √16+9 d = √25 = 5

Se aplica la fórmula del punto medio: x +x y +y M = ( 1 2, 1 2) 2 2 -2+6 4+8 , M = ( ) 2 2 4 12 , M = ( ) 2 2 M = (2,6)

La pendiente se calcula mediante m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (10 - 2) / (5 - 1) = 8 / 4 = 2. Por tanto, la pendiente es 2.

Se utiliza la forma punto-pendiente: y-y = m(x-x ) 1 1 , Sustituyendo m = 3y el punto (2 1): y-1 = 3(x-2) y-1 = 3x -6 y = 3x -5 Por tanto, la ecuación de la recta es: y = 3x -5

Primero se calcula la pendiente: 10-2 m = 3-(-1) m = = 2 Luego se utiliza la forma punto-pendiente con el punto (-1,2): y-2 = 2(x+1) y-2 = 2x +2 y = 2x +4

En el punto de intersección, ambas expresiones de yson iguales: 2x +1 = -x+7 3x = 6 x = 2 Sustituyendo: y = 2(2)+1 = 5 Por tanto, el punto de intersección es: , (2 5)

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. La recta dada tiene pendiente: m = 4 La opción y = 4x +5también tiene pendiente 4, por lo que ambas rectas son paralelas.

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. La pendiente de la recta dada es: m = 2 La pendiente perpendicular debe ser: m = - 2 2 Por eso, la recta correcta es: y = - x+6

Para la recta 3x + 4y - 10 = 0 y el punto (1, 2), se aplica d = |3(1) + 4(2) - 10| / sqrt(3^2 + 4^2) = |3 + 8 - 10| / sqrt(25) = 1/5.

La pendiente y el ángulo de inclinación se relacionan mediante: m = tanθ Como: m = 1 entonces: tanθ = 1 El ángulo cuyo valor de tangente es 1es: θ = 45∘

Para una parábola con vértice en el origen y eje vertical, la ecuación es: x2 = 4py , , El foco es (0 p). Como el foco está en (0 3): p = 3 Entonces: x2 = 4(3)y x2 = 12y

La forma de vértice de una parábola es: y = (x-h)2 +k Comparando con: y = (x-2)2 -5 se tiene: h = 2,k = -5 Por tanto, el vértice es: (2,-5)

La ecuación canónica de una circunferencia es: (x-h)2 +(y-k)2 = r2 En: (x-3)2 +(y+2)2 = 16 se observa que: h = 3,k = -2 Además: r2 = 16 ⇒ r = 4 Por tanto, el centro es (3,-2)y el radio es 4.

La ecuación canónica es: (x-h)2 +(y-k)2 = r2 Con centro (-2,1)y radio 5: h = -2,k = 1,r2 = 25 Entonces: (x+2)2 +(y-1)2 = 25

La ecuación canónica de una elipse horizontal con centro en el origen es: x2 y2 + = 1 a2 b2 Como: a = 5,b = 3 entonces: a2 = 25,b2 = 9 Por tanto: x2 y2 + = 1 25 9

En la ecuación: x2 y2 + = 1 16 9 el mayor denominador está bajo x2, por lo que el eje mayor es horizontal. a2 = 16 ⇒ a = 4 Los vértices principales son: (±a,0) Por tanto: (±4,0)

La forma canónica de una hipérbola horizontal con centro en el origen es: x2 y2 - = 1 a2 b2 Como: a = 4,b = 3 se obtiene: x2 y2 - = 1 16 9

Para una hipérbola de la forma: x2 y2 - = 1 a2 b2 las asíntotas son: b y = ± x a En este caso: a = 3,b = 2 Entonces: y = ± x

Cuando se multiplican potencias de igual base, se suman los exponentes: 23 ⋅25 = 23+5

Un exponente negativo indica el recíproco de la potencia: 3^(-2) = 1 / (3^2) = 1/9.

Una raíz n-ésima puede escribirse como exponente racional: m n √xm = xn Entonces: 3√x2 = x3

La función exponencial: f(x) = 2x está definida para cualquier número real x. Por tanto, su dominio es: R Su rango corresponde a los números reales positivos.

En una función exponencial de la forma: f(x) = ax si: 0 < a < 1 la función es decreciente. Como: a = la función disminuye al aumentar x, y su asíntota horizontal es: y = 0

Primero se expresa 16como potencia de base 2: 16 = 24 Entonces: 2x+1 = 24 Se igualan los exponentes: x +1 = 4 x = 3

Se parte de: y = 2x +3 Se intercambian xy y: x = 2y+3 Luego se despeja y: x -3 = 2y x -3 y = Por tanto: x -3 f-1(x) =

La composición (f∘g)(2)significa: f(g(2)) Primero: g(2) = 3(2) = 6 Luego: f(6) = 6+2 = 8 Por tanto: (f∘g)(2) = 8

La equivalencia entre forma exponencial y logarítmica es: ab = c ⟺ log c = b a Como: 25 = 32 entonces: log 32 = 5

Se busca el exponente al que debe elevarse 3para obtener 81: 34 = 81 Por tanto: log 81 = 4

La propiedad del producto de logaritmos establece: log x+log y = log (xy) a a a Por tanto: log (xy) a

La ecuación: log x = 4 equivale a: 24 = x Entonces: x = 16

En una función logarítmica, el argumento debe ser positivo: x > 0 Por tanto, el dominio es: , (0 ∞)

La fórmula del término general de una sucesión aritmética es: a = a +d(n-1) n 1 Aquí: a = 4,d = 3 Entonces: a = 4+3(n-1) n a = 4+3n-3 n a = 3n+1 n

La fórmula es: a = a +d(n-1) n 1 Con: a = 5,d = 3,n = 10 Se tiene: a = 5+3(10-1) a = 5+27 a = 32

La sucesión tiene razón: r = = 3 La fórmula es: a = a rn-1 n 1 Entonces: a = 2(3)4 a = 2(81) a = 162

La fórmula de la suma de los primeros ntérminos de una sucesión aritmética es: n S = (a +a ) n 2 1 n Primero se calcula el décimo término: a = a +d(n-1) 10 1 a = 3+4(10-1) a = 3+36 = 39 Luego: S = (3+39) 10 2 S = 5(42) S = 210

La fórmula de la suma de una sucesión geométrica es: rn -1 S = a ( ) n 1 r-1 En este caso: a = 2,r = 2,n = 5 Entonces: 25 -1 S = 2( ) 5 2-1 S = 2(32-1) S = 2(31) S = 62 También puede verificarse sumando directamente: 2+4+8+16+32 = 62

Se aplica el principio de la multiplicación. Por cada una de las 3 camisas pueden elegirse 4 pantalones: 3×4 = 12 Por tanto, pueden formarse: combinaciones diferentes.

Como la persona elige una bebida o un postre, se aplica el principio de la suma: 4+3 = 7 Por tanto, dispone de: opciones.

Cuando se ordenan 5 objetos distintos y el orden importa, se utiliza una permutación: 5! = 5×4×3×2×1 5! = 120 Por tanto, los libros pueden ordenarse de: maneras diferentes.

Como se seleccionan 3 estudiantes de un grupo de 8 y el orden no importa, se utiliza una combinación: 8 8! ( ) = 3 3!(8-3)! 8 8! ( ) = 3 3!5! 8 8×7×6 ( ) = 3 3×2×1 ( ) = 56 Por tanto, existen: comités posibles.

La palabra CASA tiene 4 letras, pero la letra A se repite 2 veces. Se utiliza la fórmula de permutaciones con objetos repetidos: 4! 2! = 12 Por tanto, pueden formarse: palabras distintas.

El espacio muestral al lanzar un dado es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los resultados pares son {2, 4, 6} (3 favorables de 6 posibles). P(par) = 3/6 = 1/2.

El total de bolas es 5 + 3 + 2 = 10. Las bolas no rojas son 3 azules + 2 verdes = 5. P(no roja) = 5/10 = 1/2.

El espacio muestral es S = {cara-cara, cara-sello, sello-cara, sello-sello} (4 casos). Los casos con exactamente una cara son {cara-sello, sello-cara} (2 casos). P = 2/4 = 1/2.